בעיית אתגר – 2017

שימו לב: האתגר נסגר. רשימת העוברים »

שאלה 1

סעיף א': מהו מספר הסדרות השונות המורכבות ממספרים שלמים חיוביים אשר סכומם הוא \(10\), והמספר \(2\) מופיע בהן לפחות פעם אחת?

לדוגמה, לו הסכום הנדרש היה \(5\) התשובה היתה \(9\). הסדרות הן: \(\left(2,1,1,1\right)\), \(\left(1,2,1,1\right)\), \(\left(1,1,2,1\right)\), \(\left(1,1,1,2\right)\), \(\left(2,2,1\right)\), \(\left(2,1,2\right)\), \(\left(1,2,2\right)\), \(\left(2,3\right)\), \(\left(3,2\right)\).

סעיף ב': מהי התשובה כאשר הסכום הנדרש הוא \(20\)?

שאלה 2

על השולחן מונחת ערימה של \(2000\) מטבעות זהב, אשר כולם נראים זהים. \(1000\) מן המטבעות הם מטבעות של \(10\) גרם ו-\(1000\) הם מטבעות של \(9\) גרם. בנוסף, נתונים מאזניים עם שתי כפות, שאיתם ניתן להשוות בין שני משקלים – אם הם שווים או שונים. בכל שקילה, כמות המטבעות בכף השמאלית חייבת להיות שווה לכמות המטבעות בכף הימנית. דון אמר לשרה שהיא יכולה להשתמש במאזניים ככל שתרצה, והבטיח לשרה שאם היא תצליח לשים על שתי הכפות שתי תתי-ערימות אשר כמויות המטבעות בהן שוות אך משקליהן שונים, היא תזכה בערימה כולה. שרה פיתחה שיטה לפיה אין צורך ביותר מ-\(K\) נסיונות שקילה כדי להשיג את המטרה.

סעיף א': מהו הערך המינימלי האפשרי ל-\(K\)?

סעיף ב': פרטו כיצד שרה תבצע את השקילות כך שמספר השקילות יהיה מינימלי. עבור כל שקילה, כתבו כמה מטבעות שרה תניח על כף אחת של המאזניים. הסבירו בקצרה מדוע הדרך שלכם משיגה את המטרה.

Print this pagePin on PinterestShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on Facebook